Factorul de cadere in alpinism

Factorul-de-cadere-formule-grafice-1  

După 30 de ani… ( Alpinismul și…Matematica !?!)

 

Așadar, despre faimosul  FACTOR DE CĂDERE…

Reproduc un articol  publicat in ”Floare de colț”, referitor la cum se măsoară șocul în coardă (cât și în alpinist) la o eventuală cădere într-un traseu. Textul și comentariile (cam) reproduc  articolul original,  dar , formulele matematice și graficele (mai ales) le-am redactat la nivelul posibilităților de azi.

Sper așadar, la un articol cât mai “ne-adormitor” (nu depășește  nivelul manualului de fizică de liceu…)

 

 

Coarda privită ”sentimental” (dar mai ales “la rece”)

            Alpinismul este, o acțiune (hai să-i zicem “sport”) eminamente de echipă. Doi cățăratori ce alcatuiesc o echipă legându-se în coardă, aproape că nu au nevoie de cuvinte pentru a întelege ce manevre face celălalt ( între cei doi oameni, coarda asigură un circuit prin care se comunică eficient, chiar dacă ei nici nu se pot vedea, nici auzi ). Există alpinisti care (judecând la extrem), sunt dispuși să atace orice versant împreună, fiind legați între ei … chiar și numai cu o papiotă de ață de cusut…

Lăsând psihologia la o parte, să vedem totuși ce face din punct de vedere mecanic coarda, în caz  că aceasta trebuie să-și facă “datoria” : să oprească o cădere ! Neabandonând total subiectul din deschiderea narațiunii, mai punctăm faptul, că în acest caz (nedorit), nu trebuie sa așteptăm totul de la echipament și de la coechipier ; se mai pot face multe lucruri ce depind de cel aflat in cădere ! În primul rând, să nu intrăm în panică, în crispare. Calmul și atitudinea noastră, se va transmite și la coechipierul ce trebuie să ne oprească (lucru uneori nu chiar facil de realizat…). Apoi, căderea trebuie controlată atât pentru ca cel ce cade să scape cu “deteriorări” minime (nu cazi chiar ca un sac de cartofi) , și, să nici  nu rănim cumva coechipierul de mai jos (cu bolovani desprinși de exemplu)… Evident, asta inseamnă EXPERIENTA (și chiar exercitul căderii , ajuns ceva reflex …!?, ca la judo ).

Dar să revenim . Să considerăm cazul cel mai defavorabil : o cazatură extremă a capului de coardă . Secundul se află în regrupare, pitonul de plecare e chiar langa el, și e singura asigurare a capului. Capul a avansat câțiva metri, și cade, ajunge în dreptul secundului, și, continuă căderea, până se întinde coarda (n.n. chiar am trăit o astfel de experiență) .

Ce se intamplă cu coarda ? (presupunem că secundul își face impecabil treaba). Păi, hai să deschidem cartea de fizică de liceu…

In momentul când alpinistul se desprinde de pe prize, el are, față de punctul in care s-a desfasurat  (NU s-a și alungit, inca !) toată coarda disponibilă pentru “zbor”, o anumita energie potențială “Ep”, proporțională cu masa (“greutatea”) lui , adica “m”; cu accelerația gravitațională “g” (egală cu aprox. 9,8 –pe Pământ-) ; și cu înălțimea “h” (adică, “lungimea” întregului “zbor”)… altfel spus, prima ecuație scrisă cu verde, în demonstrația matematică de mai jos (pe care, vă rog sa o urmarim in paralel cu explicațiile conexe, chiar acum “povestite”).

Această energie înmagazinată în “obiectul” aflat în cădere, trebuie consumată (neutralizată) în ceva ; acel “ceva”, este lucrul mecanic de alungire a corzii  “L”. Acesta reprezintă “frânarea” corpului căzut, și care, se petrece incepând cu punctul în care toată coarda s-a derulat (întins complet), dar !,înca NU s-a tensionat (efortul în ea este încă zero !), și, respectiv, punctul în care corpul s-a oprit din cădere (coarda s-a întins la maximum, iar efortul în ea este maxim)… Doar așa, ca discuție (în afara demonstrației), corpul este apoi, în continuare,  putin “săltat” (coarda scurtându-se la loc, și, evident, detensionandu-se)… Revenind; lucrul mecanic de alungire a corzii (și de frânare a alpinistului) “L”, este proporțional cu forța ce alungește coarda (”șocul” simțit de alpinist pe timpul frânării) “F”; dar și cu spațiul pe care acționeaza această forță de frânare (adică, atâta cât se alungește coarda, sub efortul de frânare) “dl”;… altfel spus, avem a doua ecuație scrisă cu verde.

Deoarece am convenit deja dpdv fizic că “Ep” se ”absoarbe” în “L”, asta înseamna dpdv matematic că “egalăm” cele două ecuații (verzi), obținând o a treia ecuație (cea ce descrie fenomenul studiat : căderea și frânarea alpinistului). Dar, am convenit deasemenea că studiem o căzătură extremă , în care  “lungimea “zborului”, “h” (sris portocaliu), este dublul lungimii corzii disponibile “ l ”. Modificând astfel acest “h” (portocaliu) , obtinem o nouă formă (particulară) a ecuației studiate… Din această ultimă formă a ecuației studiate, extragem (prin operații algebrice elementare) formula efortului de frânare “F” (asta urmărim de fapt : să aflăm ce “șoc” suportă alpinistul)… Observăm că în formula acestui “șoc”, se evidențiază o mică fractie “ dl/l ” (scrisă cu portocaliu). Este evident că această fracție reprezintă “alungirea specifică” a corzii , pentru că, este de fapt, alungirea corzii “ dl ”, raportată la coarda (disponibilă) și care e supusă alungirii, adică “ l ” (logic.).

Acest raport (portocaliu) stabilește de fapt , cât de “elastică” este coarda… o coardă mai elastică, asigură, evident, o frânare mai lungă, și, implicit mai “suportabilă” ( și invers !).

Esențial este să NU depășim (să nu ieșim din) limita de elasticitate a corzii ! (și care , depinde de materialul din care e confecționată coarda, cât și de modul în care este țesută, etc). Legea fizică care explică cum se desfașoară deformarea, în limitele domeniului de elasticitate, este legea lui Hooke, și care, este exprimată matematic prin formula scrisă cu mov.

In această formulă , apare “F”, adică efortul de alungire (“șocul”); secțiunea corzii “s”; modulul de elasticitate “E” (o cifră/număr, specifică fiecarei corzi, dar  care e cam “secret” de fabricație…); și, “alungirea specifică” (definită de noi deja, ceva mai sus) adică fracția “dl/l”.

Ca să putem menționa în ecuația noastră inițială (rezultată din cele două ecuații verzi), faptul că frânarea prin alungirea corzii, se face in limita domeniului de elasticitate… extragem din legea lui Hooke (formula mov) tocmai această fracție (potocalie) “dl/l”. Această fracție , exprimată (din nou, operații algebrice elementare) în funcție de termenii “elastici/mov”, o introducem (sub această formă) , în ecuația noastră (punem portocaliu în loc de portocaliu…) și, obținem ecuația frânării căderii unui corp, intr-o “zona elastica”…

Din această ecuație, extragem (algebră elementară) formula “șocului” “F”. În această formulă,  înlocuim g=9,8 (suntem pe Pământ), efectuăm calculele banale, și, obținem formula scrisă cu roșu bolduit, pentru “F” (adică, șocul suportat de alpinist la oprirea dintr-o cădere extremă –deci o anumită cădere-).

Ce ne spune această formulă ?  Printre altele, ne evidențiază următoarele aspecte :

Că “F” NU DEPINDE de “h” !!! Adică,… că șocul resimțit nu depinde de înălțimea de la care ai căzut !!! Deși, orice întrebare de “bun simț” ar începe cu “Câți metri ai zburat?”. Iată că, “simțirile” noastre,  sunt “eronate” (dpdv matematic)… Contează (de fapt) în câtă coardă ai căzut !!!  (pentru că o coardă mai lungă se poate intinde mai mult decât o coardă scurtă !!! frânarea fiind implicit mai lungă, șocul resimțit este mai mic… )

Că “F” depinde de un coeficient numeric (aflat în fața radicalului). Acest coeficient este caracteristic genului de căzătură (cât de “extremă” este căzătura)… și , vom vedea, că acest coeficient, fiind foarte variabil/modificabil, este foarte important (aici intervenim , ba chiar,  DOAR AICI putem să intervenim, pentru a “ușura” șocul căderii)…

Că “F” depinde invers pătratic (adică, sub radical) de “m”, de“s”, și de “E” (de fiecare in parte, DAR, și de toate trei in corelație …). Adică : (“m” solo)… înseamnă că e bine să ai cât mai puține kg ;  (“s” solo)… înseamnă că e bine să ai o coardă cât mai… subțire (!?) ;  (“E” solo)… înseamnă că e bine să ai o coardă cât mai elastică .

 DAR (cum spuneam), de fapt cele trei se corelează între ele… Fabricanții de corzi caută mereu un optim :  1.) la greutatea alpinistului nu au ce umbla, dar,  deja se fac corzi pe categorii de greutate (2, maxim 3 categorii), iar diferențierea se vede “palpabil” mai ales la diametru (la alte chestii nu prea se vede, dar exista)… 2.) și ca economie de material de fabricație, și ca economie de efort la cărat, se caută să se realizeze corzi preferabil cât mai subțiri (plus că, o coardă subțire e și mai elastică decât una groasă)… 3.) o lărgire a domeniului de elasticitate (mai ales prin micșorarea diametrului) riscă să atingă prea ușor/repede limita de rupere (!!)… DECI (ca oriunde), e necesară moderația și compromisul , adică : corzi cât mai ușoare (chiar relativ subțiri), în marje mari de elasticitate (dar, cât mai departe de limita de rupere), și, toate acestea, corelate cu categoriile de greutate ale alpinistului. Acest melanj de optimizări, mai ține apoi cont, de codițiile de utilizare, adică dacă  sunt : corzi de escaladă, de alpinism pe stancă, de alpinism pe ghiață, de expediție de altitudine (cu variantele pentru corzi fixe), de explorare pe verticală… de alpinism industrial… de speologie…

Complicat nu ? (și toate într-o singurică biată formulă matematică)…

Dar, să mai avansăm puțin în lumea matematicii ca să vedem ce mai aflăm despre corzi .

            Corzile sunt “rotunde” (cilindrice), iar lumea apreciaza greu niște exprimări în milimetri pătrați (adică referitor la secțiune). Toată lumea vorbește de… diametru (deci în mm). Și atunci , explicităm și noi, diametrul “d” în formula secțiunii  “s” (considerată circulară), inserat în formula noastră (zona portocalie din formulă). Și, prin calcule banale (avem deja exercițiu !), obținem formula efortului “F” în funcție de diametrul corzii (formula scrisă cu roșu ne-bolduit). Discuțiile de interpretare sunt identice ca la formula de bază (roșu bolduit), doar că avem direct diametrul corzii (in mm) , și nu secțiunea corzii (in mmp). Poate pentru unii e mai ușor așa…

            Noi însa (deja suntem “experți”), deci continuăm cu formula de bază (roșu bolduit), și, imaginăm o nouă situație privind gradul ”extrem” al căderii : secundul e asigurat în regrupare, capul e asigurat în pitonul de plecare aflat exact lângă secund, are o buclă de coardă liberă de câtiva metri, si… lunecă din regrupare , căzând în gol (fără să apuce să urce nimic deasupra regruparii). Ce se va modifica ? Păi… condițiile căderii : capul nu mai cade dublul corzii disponibile, ci exact atât câtă coardă are… Așadar, ce se intamplă cu formula noastră când “h=l” (și NU “h=2l”)?… Păi, după banale calcule (la “valoarea” noastră… !), formula roșu bolduit devine formula portocaliu bolduit !… Prin ce diferă ele ? Prin coeficientul numeric din fața radicalului ! Restul e identic (ca și comentariile de concluzii,… deasemenea… elasticitate, categorii de greutate, etc…).

Ce intuim ? Simplu ! Coeficientul numeric din fața radicalului se modifică prin modificarea raprtului dintre : lungimea corzii disponibile pentru atenuarea șocului , și, lungimea ”zborului”. Când zborul a fost dublu față de coarda disponibila, am avut coeficient (“șoc”) maxim (corespunzator la un “factor 2”);… când lungimea zborului a fost egală cu coarda disponibilă, coeficientul (“socul”) a scazut (corespunzator la un “factor 1”)… DECI… intuim că  elementul foarte important (singurul aflat la indemna noastra) în “modelarea” șocului de cadere este :

FACTORUL DE CADERE  “fc” (unde fc = h/l , adică ”lungime zbor” : ”lungime coarda”) ;

Respectiv, tocmai ultima formulă verde din demonstrația noastră matematică (de la verde am pornit ca să ajungem tot la verde…  ce mai ! “ecologisti” , nu… “matematicieni” !).

SINTETIZAND FORMULA : efortul de franare „F” este o „constanta de caz” (un numar fix, sa-i zicem „K”pentru UN alpinist de „X” kilograme si O coarda de elasticitate „Y”), si care („K”) se inmulteste cu un numar dat de radicalul din „fc”(deci din factorul de cadere, adica din „SPECIFICUL caderii”).

Adica, DOAR „fc” determina socul ! (NIMIC altceva !!!….”F” = „K”  x  rad.”fc”)…

…(K fiind undeva pe la o tona… dar asta e doar o estimare ca ordin de marime !).

Și, să analizăm, în continuare, ultima situație de cadere, pe care o luam in discutie, ca relevanta (de data asta însă, aproape fară … matematică… o veritabilă ușurare, nu-i așa ?…).

Așadar, secundul este în regrupare, capul a ”băgat” deja destul de multe asigurări, dar se află la câțiva metri deasupra ultimului piton asigurat , și cade … aici, coarda ce absoarbe șocul căderii, este muuuult mai lungă decat înalțimea pe care s-a “zburat” (presupunem iar, că secundul și-a făcut datoria)… deci factorul de cădere este clar … subunitar ! ( banala fracție ”h/l” devine logic subunitară); iar coeficientul din fața radicalului devine aproape neglijabil, adică… șocul de oprire a căderii, este perfect suportabil !!… (inofensiv putem spune).

AICI trebuie să ne mișcăm, dacă se poate, tot timpul și în orice situație : adică, astfel trebuiesc gestionate asigurările , încât să evităm să ne apropiem de… “ factor de cadere UNU” !!!  (peste UNU de evitat drastic !!!).  Simplu, nu-i așa ?

NOTA : va recomand sa cititi in continuare, tot de pe acest blog, articolul (conex)

 „Static versus Dinamic (in alpinism)”

 Dar, să încercăm să mai tragem și niște concluzii practice (după atâta matematică aridă și plictisitoare…) :

• Dacă băgăm două corzi identice in asigurare, secțiunea se dubleaza, socul însă, crește doar de 1,42 ori (intervine radicalul)
• Dacă corzile sunt de diametre inegale, coarda mai groasă preia aproape tot efortul, cea subțire, și implicit mai elastică, rămânând mult “in urmă” cu “preluatul” șocului
• Factorul de cadere e scazut destul de mult în cazurile concrete din perete și de : frecările corzii prin carabiniere, elasticitatea buclelor si hamurilor, sinuozitatea traseului corzii prin carabiniere, frecarea corzii de perete, lunecarea in dispozitivele de franare, etc… (formulele s-ar complica prea mult ca să țina cont de toate aspectele enumerate)
• Laboratoarele de testat corzi, vorbesc cam de 1200 kg (insuportabil !), șoc pentru factor de cădere 2, iar pentru factor 1, de 800 kg (înregistrarea șocului se face pe un osciloscop cu memorie , vizualizând semnalul unui timbru tensiometric …n. am lucrat la asa ceva…)
• Zgomotele si zgâlțâielile din laboratoarele unde se testează corzile până la rupere, sunt greu de imaginat (iar biciuirea unei corzi rupte pe stand poate fi foarte vătămătoare) … asta, ca să conștientizăm despre ce vorbim…(peste factor 1, șocul poate deveni foarte periculos pentru sănătate !)
• Factorul de cădere cel mai periculos este chiar la plecarea din regrupare ; din acest motiv, aici pitoanele trebuie să fie mai dese (și mai sigure), iar secundul să fie foarte atent la manevre (la plecarea capului din regrupare)
• Din aceleași considerente, nu e bine să regrupăm exact sub zonele periculoase/expuse (de exemplu sub un tavan) ; e bine ca până la acel punct dificil, să avem câteva asigurări intermediare sigure
• Din considerentele de mai sus, “se spune” ca două pitoane esentiale sunt : la 2 m (faimosul piton de plecare) și la 8 m de la plecare, chiar dacă, plecarea este ușoară (!) ( gestionarea subunitară a factorului de cădere se aplică în orice situație !… )
• Paradoxal, de la mijlocul lungimii în sus, nu mai sunt foarte necesare pitoanele (!?); dacă cazi din regruparea de sus, și ultimul piton asigurat e la mijlocul lungimii, ajungi în regruparea de jos, cu factor 1 (cel mult),… adica perfect suportabil (desi zbori aprox. 40 m ?!? … și faci tot posibilul să nu te lovesti de nimic, în zbor !)
• Așadar, grija maximă la pitoanele de plecare si la cele din prima jumatate a lungimii, iar punctele dificile, pe cât posibil, să fie plasate în ultimile două treimi ale lungimii (evident că “socoteala de acasă nu se potrivește cu socoteala din târg”, dar…)
• Regrupările, fiind tot timpul la originea (în proximitatea) unui posibil factor 2 (!!!), NU suportă nici un rabat de siguranță !!! (nu faceți economie de pitoane tocmai aici, în plus, sunt locuri utile și pentru eventuale acțiuni de salvare … n.  ȘI, lasati obligatoriu, macar un inel de rapel, pentru situatii neprevazute…! )

Iată câte lucruri utile/vitale alpinismului putem descoperi cu ajutorul… matematicii !

(demonstrația ”seacă și aridă” este prezentată ”grafic” in continuare ,de fapt in „antet”, alături de o mostră din revista ”Floare de colț” unde a fost publicată pentru prima dată)